chapter20.ipynb

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    "# 第二十讲：克拉默法则、逆矩阵、体积\n",
    "\n",
    "本讲主要介绍逆矩阵的应用。\n",
    "\n",
    "## 求逆矩阵\n",
    "\n",
    "我们从逆矩阵开始，对于二阶矩阵有$\\begin{bmatrix}a&b\\\\c&d\\end{bmatrix}^{-1}=\\frac{1}{ad-bc}\\begin{bmatrix}d&-b\\\\-c&a\\end{bmatrix}$。观察易得，系数项就是行列式的倒数，而矩阵则是由一系列代数余子式组成的。先给出公式：\n",
    "\n",
    "$$\n",
    "A^{-1}=\\frac{1}{\\det A}C^T\n",
    "\\tag{1}\n",
    "$$\n",
    "\n",
    "观察这个公式是如何运作的，化简公式得$AC^T=(\\det A)I$，写成矩阵形式有$\\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\\cdots&a_{1n}\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\a_{n1}&a_{n2}&\\cdots&a_{nn}\\end{bmatrix}\\begin{bmatrix}C_{11}&\\cdots&C_{n1}\\\\C_{12}&\\cdots&C_{n2}\\\\\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\C_{1n}&\\cdots&C_{nn}\\end{bmatrix}=Res$\n",
    "\n",
    "对于这两个矩阵的乘积，观察其结果的元素$Res_{11}=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+\\cdots+a_{1n}C_{1n}$，这正是上一讲提到的将行列式按第一行展开的结果。同理，对$Res_{22}, \\cdots, Res_{nn}$都有$Res_{ii}=\\det A$，即对角线元素均为$\\det A$。\n",
    "\n",
    "再来看非对角线元素：回顾二阶的情况，如果用第一行乘以第二行的代数余子式$a_{11}C_{21}+a_{12}C_{22}$，得到$a(-b)+ab=0$。换一种角度看问题，$a(-b)+ab=0$也是一个矩阵的行列式值，即$A_{s}=\\begin{bmatrix}a&b\\\\a&b\\end{bmatrix}$。将$\\det A_{s}$按第二行展开，也会得到$\\det A_{s}=a(-b)+ab$，因为行列式有两行相等所以行列式值为零。\n",
    "\n",
    "推广到$n$阶，我们来看元素$Res_{1n}=a_{11}C_{n1}+a_{12}C_{n2}+\\cdots+a_{1n}C_{nn}$，该元素是第一行与最后一行的代数余子式相乘之积。这个式子也可以写成一个特殊矩阵的行列式，即矩阵$A_{s}=\\begin{bmatrix}a_{11}&a_{12}&\\cdots&a_{1n}\\\\a_{21}&a_{22}&\\cdots&a_{2n}\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\a_{n-a1}&a_{n-12}&\\cdots&a_{n-1n}\\\\a_{11}&a_{12}&\\cdots&a_{1n}\\end{bmatrix}$。计算此矩阵的行列式，将$\\det A_{s}$按最后一行展开，也得到$\\det A_{s}=a_{11}C_{n1}+a_{12}C_{n2}+\\cdots+a_{1n}C_{nn}$。同理，行列式$A_{s}$有两行相等，其值为零。\n",
    "\n",
    "结合对角线元素与非对角线元素的结果，我们得到$Res=\\begin{bmatrix}\\det A&0&\\cdots&0\\\\0&\\det A&\\cdots&0\\\\\\vdots&\\vdots&\\ddots&\\vdots\\\\0&0&\\cdots&\\det A\\end{bmatrix}$，也就是$(1)$等式右边的$(\\det A)I$，得证。\n",
    "\n",
    "## 求解$Ax=b$\n",
    "\n",
    "因为我们现在有了逆矩阵的计算公式，所以对$Ax=b$有$x=A^{-1}b=\\frac{1}{\\det A}C^Tb$，这就是计算$x$的公式，即克莱默法则（Cramer's rule）。\n",
    "\n",
    "现在来观察$x=\\frac{1}{\\det A}C^Tb$，我们将得到的解拆分开来，对$x$的第一个分量有$x_1=\\frac{y_1}{\\det A}$，这里$y_1$是一个数字，其值为$y_1=b_1C_{11}+b_2C_{21}+\\cdots+b_nC_{n1}$，每当我们看到数字与代数余子式乘之积求和时，都应该联想到求行列式，也就是说$y_1$可以看做是一个矩阵的行列式，我们设这个矩阵为$B_1$。所以有$x_i=\\frac{\\det B_1}{\\det A}$，同理有$x_2=\\frac{\\det B_2}{\\det A}$，$x_2=\\frac{\\det B_2}{\\det A}$。\n",
    "\n",
    "而$B_1$是一个型为$\\Bigg[b a_2 a_3 \\cdots a_n\\Bigg]$的矩阵，即将矩阵$A$的第一列变为$b$向量而得到的新矩阵。其实很容易看出，$\\det B_1$可以沿第一列展开得到$y_1=b_1C_{11}+b_2C_{21}+\\cdots+b_nC_{n1}$。\n",
    "\n",
    "一般的，有$B_j=\\Bigg[a_1 a_2 \\cdots a_{j-1} b a_{j+1} \\cdots a_n\\Bigg]$，即将矩阵$A$的第$j$列变为$b$向量而得到的新矩阵。所以，对于解的分量有$x_j=\\frac{\\det B_j}{\\det A}$。\n",
    "\n",
    "这个公式虽然很漂亮，但是并不方便计算。\n",
    "\n",
    "## 关于体积（Volume）\n",
    "\n",
    "先提出命题：行列式的绝对值等于一个箱子的体积。\n",
    "\n",
    "来看三维空间中的情形，对于$3$阶方阵$A$，取第一行$(a_1,a_2,a_3)$，令其为三维空间中点$A_1$的坐标，同理有点$A_2, A_3$。连接这三个点与原点可以得到三条边，使用这三条边展开得到一个平行六面体，$\\left\\|\\det A\\right\\|$就是该平行六面体的体积。\n",
    "\n",
    "对于三阶单位矩阵，其体积为$\\det I=1$，此时这个箱子是一个单位立方体。这其实也证明了前面学过的行列式性质1。于是我们想，如果能接着证明性质2、3即可证明体积与行列式的关系。\n",
    "\n",
    "对于行列式性质2，我们交换两行并不会改变箱子的大小，同时行列式的绝对值也没有改变，得证。\n",
    "\n",
    "现在我们取矩阵$A=Q$，而$Q$是一个标准正交矩阵，此时这个箱子是一个立方体，可以看出其实这个箱子就是刚才的单位立方体经过旋转得到的。对于标准正交矩阵，有$Q^TQ=I$，等式两边取行列式得$\\det(Q^TQ)=1=\\left|Q^T\\right|\\left|Q\\right|$，而根据行列式性质10有$\\left|Q^T\\right|=\\left|Q\\right|$，所以$原式=\\left|Q\\right|^2=1, \\left|Q\\right|=\\pm 1$。\n",
    "\n",
    "接下来在考虑不再是“单位”的立方体，即长方体。 假设$Q$矩阵的第一行翻倍得到新矩阵$Q_2$，此时箱子变为在第一行方向上增加一倍的长方体箱子，也就是两个“标准正交箱子”在第一行方向上的堆叠。易知这个长方体箱子是原来体积的两倍，而根据行列式性质3.a有$\\det Q_2=\\det Q$，于是体积也符合行列式的数乘性质。\n",
    "\n",
    "我们来看二阶方阵的情形，$\\begin{vmatrix}a+a'&b+b'\\\\c&d\\end{vmatrix}=\\begin{vmatrix}a&b\\\\c&d\\end{vmatrix}+\\begin{vmatrix}a'&b'\\\\c&d\\end{vmatrix}$。在二阶情况中，行列式就是一个求平行四边形面积的公式，原来我们求由四个点$(0,0), (a,b), (c,d), (a+c,b+d)$围成的四边形的面积，需要先求四边形的底边长，再做高求解，现在只需要计算$\\det A=ad-bc$即可（更加常用的是求由$(0,0), (a,b), (c,d)$围成的三角形的面积，即$\\frac{1}{2}ad-bc$）。也就是说，如果知道了歪箱子的顶点坐标，求面积（二阶情形）或体积（三阶情形）时，我们不再需要开方、求角度，只需要计算行列式的值就行了。\n",
    "\n",
    "再多说两句我们通过好几讲得到的这个公式，在一般情形下，由点$(x_1,y_1), (x_2,y_2), (x_3,y_3)$围成的三角形面积等于$\\frac{1}{2}\\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\\\x_2&y_2&1\\\\x_3&y_3&1\\end{vmatrix}$，计算时分别用第二行、第三行减去第一行化简到第三列只有一个$1$（这个操作实际作用是将三角形移动到原点），得到$\\frac{1}{2}\\begin{vmatrix}x_1&y_1&1\\\\x_2-x_1&y_2-y_1&0\\\\x_3-x_1&y_3-y_1&0\\end{vmatrix}$，再按照第三列展开，得到三角形面积等于$\\frac{(x_2-x_1)(y_3-y_1)-(x_3-x_1)(y_2-y_1)}{2}$。"
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