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提示：本文含有少量公式，可安装MathJax Plugin for Github浏览器插件提供公式渲染，但这样做并非直接解析源文本，而是在Markdown渲染结果的基础之上做，终究存在一些蛋疼的问题：

  • 很多时候公式中的$ * $被Markdown渲染成了斜体标签<em>，导致显示问题。避免这个问题可以在公式中的$ * $两端加上空格。
  • $\LaTeX$中大括号需要使用\{转义，但Markdown渲染为html网页时本身就会对其进行一次转义。所以只有\\{或者\\\{才能被Mathjax正常解析为左花括号，而\{就什么都没有了。
  • 不是原生引入的Mathjax所以没办法，不应该本末倒置为了Mathjax能够渲染而使用不规范不正确的$\LaTeX$语法，既然绕不过最好还是克隆到本地查看吧。

范畴论了解

简单了解一下范畴论，也谈不上入门，不求深入。主要是为了对Haskell中各种类型类有更好的理解。

符号一览：

符号 含义 $\LaTeX$写法
$\not$ 符号取反 \not
$\subset \subseteq$ 集合关系 \subset \subseteq
$\land \lor \lnot$ 逻辑与、或、非 \land \lor \lnot
$\ni \in \notin \not\ni$ 元素与集合关系 ni \in \notin \not\ni
$\to \Rightarrow \Leftrightarrow$ 函数、逻辑推导 \to \Rightarrow \Leftrightarrow
$\forall \exists$ 全称、存在量词 \forall \exists
$\mathcal{ABHG}$ 手写体字母，表示群 \mathcal{ABHG}
$\sim \cong$ 等价、同构 \sim \cong
$f\circ g$ 函数、群同态复合 f \circ g

纯数学家研究的是不同的抽象结构，但如果我们把不同的数学结构，如群、偏序、拓扑空间等，进行进一步的抽象，研究结构之上的结构，这就是范畴（category）。若再度抽象，我们就得到了函子（functor），再往上就是自然变换（natural transformation）。范畴论还可以继续研究抽象的抽象，直至无穷。

背景知识——群

背景知识的背景知识：集合、函数、关系。

群（Group）

定义1：有着非空集合$G$和它的一个二元运算$*$，若满足：

  • 封闭性： $\forall a,b\in G \exists c \in G(a * b = c)$。
  • 结合律： $\forall x,y,z \in G((x * y) * z = x * (y * z))$ 。
  • 单位元存在：$\exists e \in G \forall x \in G(x * e = x = e * x)$ ， $e$称之为单位元，也称幺元。
  • 逆元存在：$\forall x \in G \exists y\in G(x * y = e = y * e)$，称$x$和$y$为互逆元素，简称逆元（inverse），$y$可以记做$x^{-1}$。

则称$G$对$x$构成一个群。

记法：

  • 三个要素$G$，$*$，$e$的三元组。
  • 有记做$(G, *)$的，有记做$ (G, *, e)$的。随意？只要能理解就行，在没有歧义的情况下也可以简写做$G$。

通常称：

  • $G$上的的二元运算 $* $ 为乘法，称 $a*b$ 为 $a$ 和 $b$ 的积，简写做 $ab$。
  • 群$G$元素个数有限，在称为有限群，反之无限群，有限群的元素个数称为有限群的阶。

运算：

  • $g\in G, H \subseteq G$，定义$g* H = {gh|h\in H}$，简写作 $gH$， $H*g = {hg|h\in H}$，简写作 $Hg$。
  • $A,B \subseteq G$，定义$A*B = {ab|a\in A, b\in B}$，简写做$AB$。
  • $H\subseteq G$，记 $H^{-1} = {h^{-1}|h\in H}$。

替换定理：若$(G, *)$是群，那么$\forall g \in G(gG = Gg = G)$。

子群：若$(G, *, e)$是群，那么$H$是$G$的非空子集且$(H, *, e)$也是群，那么称$H$为$G$的子群（subgroup）。

子群的判定：$HH=H\land H^{-1}=H \Leftrightarrow H是G的子群$。

例：

  • 整数对加法运算，以$0$为单位元构成群，记做$(Z,+,0)$。
  • 非零实数对乘法，以$1$为单位元构成群。

群同态（group homomorphism）

定义2：群$(G, *, e)$到群$(G^{'}, *^{'}, e^{'})$的一个群同态，是定义在集合$G$上（定义域），以$G^{'}$元素为取值（陪域）的函数$f$，使得：

  • $\forall x,y \in G(f(x*y) = f(x) *^{'} f(y))$
  • $f(e) = e^{'}$

则称$f : G\to G^{'}$称之为底层函数（underlying function），而记$f:(G,*,e)\to (G^{'}, *^{'}, e^{'})$为同态。

例：

  • 任何群到单位群 $1$ 的映射都可以视为一个同态。
  • 从整数群到有理数群存在这样的一个同态：$h:(Z,+,0) \to (Q,+,0)$ 。这个同态是单射（injective），但不是满射（surjective）。

定理1：

  • 设 $\mathcal{G} = (G, *, e)$，那么存在一个单位同态（identity homomorphism）$1_{\mathcal{G}}:\mathcal{G}\to\mathcal{G}$，把$\mathcal{G}$中所有元素投射给自己。
  • 对于两个同态$f:\mathcal{G}\to\mathcal{H},g:\mathcal{H}\to\mathcal{J}$，总可以将其复合构成新同态 $g\circ f:\mathcal{G}\to\mathcal{J}$。
  • 同态的合成/复合（composition）是结合的（associative），即满足结合律。
  • 符号说明：$\mathcal{G}$是手写体的$G$，写法\mathcal{G}。

群同构（group isomorphism）

定义3：如果底层函数是一个双射（bijection），那么称群同态为群同构，记做 $\mathcal{G}\cong \mathcal{H}$。若源和目标时同一个群，称之为自同构（automorphism）。

说明：

  • 对于函数$f:A\to B$。
  • 单射（injection，一对一）：$\forall a,b\in A(f(a) = f(b)\Rightarrow a = b)$。
  • 满射（surjection，映上）：$\forall y\in B \exists x\in A(f(x) = y)$。
  • 双射（bijection，一一对应）：即是单射，又是满射则称为双射。即陪域$B$中所有元素都是$A$中唯一的一个元素的像。

定理2：一个群同态$f:\mathcal{G}\to \mathcal{H}$是一个同构当且仅当它有一个双边逆元（two-sieded inverse），即$\exists f^{'}:\mathcal{H}\to \mathcal{G}(f^{'}\circ f = 1_{\mathcal{G}},f\circ f^{'}=1_{\mathcal{H}})$。

定理3：群之间的同构关系是群之间的等价关系（equivalence relation）。

说明：

  • 等价关系：设$R$是非空集合$A$上的二元关系，若$R$自反、对称、传递，则称$R$是$A$上的等价关系。
  • 自反性：$\forall a\in A((a, a)\in R)$。
  • 对称性：$(a,b)\in R\land a\neq b \Rightarrow (b, a)\in R$。
  • 传递性：$(a, b)\in R\land (b, c)\in R \Rightarrow (a, c)\in R$。
  • 若$(a, b)\in R$，则称$a$等价于$b$，记做$a\sim b$。
  • 定理3也就是说：群的同构具有自反、对称、传递性。

生成新群

子群：从群 $\mathcal{G} = (G , * , e)$ 中取出部分元素 $G^{'}$，使其对于群运算 $ * $ 闭合，且 $G^{'}$ 的逆元（inverse）也是 $G$ 的逆元。那么称$\mathcal{G}^{'}=(G^{'}, * , e)$是$\mathcal{G} = (G , * , e)$的一个子群（subgroup）。

两个群的积：对于两个群 $(G, * ,e)$和$(G^{'}, * ^{'},e^{'})$，设$H$为配对元素 $\langle x,y\rangle$ （就是二元组），定义 $d=\langle e, e^{'}\rangle$，又有 $\forall x\in G,y\in G^{'}(\langle x,x^{'}\rangle\star\langle y,y^{'}\rangle = \langle x * y,x^{'} * y^{'}\rangle)$，那么称群 $\mathcal{H} = (H,\star,d)$ 为群 $(G, * ,e)$ 和群 $(G^{'}, * ^{'},e^{'})$ 的积（product）。