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|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
体力与等效体力 |
2013-09-16 |
SeisMan |
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true |
body-force-equivalents |
地震学里最基本的运动方程是
$$\rho \ddot{u_i} = \sigma_{ij,j} + f_i$$
其中
除非是研究地球的自由震荡，在一般的地震波传播问题中，重力都是可忽略的，因而运动方程简化为：
$$\rho \ddot{u_i} = \sigma_{ij,j}$$
断层的破裂过程（即震源的激发过程）可以认为其在源区导致局部的本构关系发生变化。其中
定义
$$f_i \equiv (\sigma_{ij}-s_{ij})_{,j}$$
此时运动方程重新变成
$$\rho \ddot{u_i} = \sigma_{ij,j} + f_i$$
根据 Aki & Richards (1980) 中的表示定理：
$$u_n(x,t) = \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \iiint_V f_p(\eta, \tau) G_{np}(x, t-\tau, \eta,0) d V(\eta)\\$$
$$+ \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \iint_{\Sigma} \left[u_i(\xi, \tau) \right] c_{ijpq} \nu_j G_{np,q}(x, t-\tau; \xi,0) d \Sigma(\xi)$$
$$- \int_{-\infty}^{\infty} d \tau \iint_{\Sigma} \left[T_p(u(\xi, \tau), \nu) G_{np}(x, t-\tau; \xi,0) \right] d \Sigma(\xi)$$
位移分为三项，第一项为体力引起的位移，这一项在波传播中可忽略；
第二项是位移不连续引起的位移，其等效体力为
$$f_p^{[u]}(\eta, \tau) = - \iint_{\Sigma}[u_i(\xi, \tau)]c_{ijpq} \nu_j \frac{\partial}{\partial \eta_q} \delta(\eta-\xi) d \Sigma$$
第三项是应力不连续引起的位移，其等效体力为
$$f^{[T]}(\eta, \tau) = - \iint_{\Sigma}[T(u(\xi,\tau),\nu)] \delta(\eta-\xi) d \Sigma(\xi)$$
地震学研究中常用的源是位错源，即第二项。
因而很多文献中的波动方程，$f_i$ 都不是体力项，而是等效体力项。
参考文献：
- Julian, B. R., Miller, A. D., & Foulger, G. R. (1998). Non‐double‐couple earthquakes 1. Theory. Reviews of Geophysics, 36(4), 525-549.