-
Notifications
You must be signed in to change notification settings - Fork 1
/
Teoreticka_kryptografie_01.tex
280 lines (183 loc) · 8.63 KB
/
Teoreticka_kryptografie_01.tex
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
\documentclass[a4paper,12pt,titlepage]{article}
\usepackage[IL2]{fontenc}
\usepackage[utf8]{inputenc}
\usepackage{a4wide}
\usepackage[czech]{babel}
\usepackage{amsfonts, amsmath, amsthm, amssymb}
\usepackage[left=1.5cm,right=1.5cm,top=1.5cm,bottom=1.5cm]{geometry}
\usepackage{mdwlist}
\usepackage{textcomp}
\def\nadpis#1{{\bigskip\large\bf\noindent{#1}}\par\bigskip}
\def\podnadpis#1{{\bigskip\bf\noindent#1\medskip\par}}
\def\definice{\noindent {\bf Definice: }}
\def\priklad{\noindent {\bf Příklad: }}
\def\tvrzeni{\noindent {\bf Tvrzení: }}
\def\veta{\noindent {\bf Věta: }}
\def\dukaz{\noindent {\bf Důkaz: }}
\def\qed{{\hfill{$\square$}}}
\def\m#1{{\mathcal{#1}}}
\def\sskip{\medskip}
\begin{document}
\podnadpis{Podmínky splnění předmětu}
\noindent Bude celkem 6 úkolů, cvičení bude virtuální pouze prostřednictvím
zadávání a řešení úkolů (zadávány na konci přednášky). Každý by měl odevzdat
všechny, je nutné získat alespoň se 60 \% bodů.
Na stránce předmětu je literatura, kvalitní je Katz + Lindell -- Introduction
to Modern Crypto a Goldreich -- Foundation of Cryptography vol 1.
\noindent Ani jedna z nich není dostupná v elektronické podobě. Proto aby
existoval použitelný učební materiál, budeme my dělat zápisy, ty budou
korigovány a zveřejňovány. Za zápis z přednášky není potřeba odevzdat 1
úkol. Zapsané zápisy posílat na adresu {\sl hubacek $^\star$at$^\star$ iuuk.mff.cuni.cz}.
Hlavní část předmětu by mělo být plnění úkolů, deadline bude 2 týdny, na zkoušce
si popovídáme o nějakých problémech.
\nadpis{Foundations of Theoretical Cryptography}
\podnadpis{Historie}
\noindent První zmínky o kryptografii z r. 500 př. n. l., ale až do 2. sv.
války byla kryptografie \uv{tajemným uměním}, až za 2. sv války začala být
vědou.
Vždy nejprve někdo navrhl systém, někdo jiný na něj navrhl útok, někdo ho
opravil a potom se cyklil 2. a 3. bod.
Systém byl považován za bezpečný, pokud ho toho času nikdo neuměl prolomit.
\begin{itemize}
\item 1940 -- Shannon přišel s rigorózním přístupem ke kryptografii
\begin{itemize}
\item definice perfect secrecy.
\item ukázal, že perfect secrecy je nepraktická.
\end{itemize}
\item 1970 -- Diffie a Hellman
\begin{itemize}
\item definice Computational security
\item přišli na to, že nepotřebujeme systémy, které nelze prolomit, stačí, když
je nelze prolomit efektivně $\Rightarrow$ kryptografii lze budovat na obtížných
problémech.
\item win-win situace -- pokud se podaří prolomit šifru, tak máme alespoň
řešení na nějaký obtížný problém.
\end{itemize}
\item1980 -- Goldmasser a Micali
\begin{itemize}
\item\uv{Rozumné} definice pro kryptografii
\item konstrukce pro dané definice na základě předpokladů jako např. $P \neq
NP$, faktorizace je obtížná\dots
\item Pro to, abychom mohli věřit, že kryptografie existuje, je potřeba věřit,
že $P \neq NP$ a většinou je potřeba i nějaký silnější předpoklad.
\end{itemize}
\end{itemize}
\podnadpis {Šifrování:}
\noindent Máme Alici a Boba, kteří by spolu rádi komunikovali, ovšem mají pouze
kanál, který odposlouchává Eva (Eavesdropper)
\begin{itemize}
\item(realistická situace, postupně existovali kurýři, pošta, email, mobil\dots)
\item\uv{encryption scheme}/secret code/secret key
\item dříve fungovala Stegamografie -- způsob, jak schovat data do jiné
legitimně vypadající zprávy, v dnešní době ale tento přístup již není zajímavý.
\end{itemize}
\podnadpis{Public-key cryptography}
\begin{itemize}
\item bez sdíleného klíče
\item autentizace a integrita dat
\begin{itemize}
\item Alice ověří zprávu od Boba (může si být jistá, že zpráva je opravdu od
něj a nebyla modifikována)
\end{itemize}
\item Mimo komunikaci: secure computation
\begin{itemize}
\item protokoly pro aukce, e-cash, voting, kdy máme mnoho účastníků, adversary
je interní -- chceme docílit toho, aby nikdo např. nemohl ovlivnit volby mimo
váhu vlastního hlasu.
\end{itemize}
\end{itemize}
\podnadpis{Vrstvy kryptografie}
\begin{enumerate}
\item Výpočetně složité problémy
\begin{itemize}
\item základní stavební kameny
\item vycházejí z teorie složitosti nebo z výpočetní teorie čísel (v některých grupách diskrétní logaritmus, faktorizace,\dots)
\item nutné předpoklady:
\item u Shannona -- šifry použitelné, i když má Eva neomezenou výpočetní sílu. Zde nám ale stačí předpoklad, že náš problém je obtížný (nevíme ale, jestli nějaký takový opravdu existuje)
\end{itemize}
\item Kryptografická primitiva
\begin{itemize}
\item základní \uv{kryptografický úkol} -- šifrování, digitální podpis,
pseudonáhodné generátory, zero-knowledge proof
\item konstrukce s důkazy bezpečnosti
\end{itemize}
\item Protokoly
\begin{itemize}
\item aukce, voting,
\item též máme důkazy bezpečnosti, ale většinou se pouze odkazují na důkazy
předchozí vrstvy
\end{itemize}
\item Systémy
\begin{itemize}
\item TLS/SSL -- důkazy bezpečnosti většinou ještě neexistují, též jsou ale
typicky nutné dobré stavební prvky z předchozích vrstev.
\end{itemize}
\end{enumerate}
\podnadpis{Private-key Encryption (Symetric)}
\noindent Alice a Bob mají sdílený klíč
Předpoklady:
\begin{itemize}
\item Kerchhoffův princip: Předpokládáme, že encryption i decription algoritmy
jsou známé, adversary nezná klíč. (dobrý předpoklad, algoritmy vždycky nakonec
uniknou)
\item insecure channel -- adversary vidí všechny správy, ale je pasivní (nemůže
měnit, ničit, či tvořit vlastní zprávy)
\end{itemize}
\penalty -1000
\definice {\it Private-key encryption scheme} s prostorem klíčů $\m K$,
prostorem zpráv $\m M$ a prostorem ciphertextů $\m C$ je trojice algoritmů
$(G,E,D)$, kde:
\begin{itemize}
\item $G$ generuje klíče z $\m K$, značíme $k \leftarrow G$, $k \in \m K$
\item $E$ pro klíč $k \in \m K$ a zprávu $m \in \m M$ vrací ciphertext $c \in
\m C$, značíme $c\leftarrow E_k(m)$.
\item $D$ pro klíč $k \in \m K$ a ciphertext $c \in \m C$ vrací zprávu $m$,
značíme $m=D_k(c)$.
\end{itemize}
Šipky v definicích znamenají, že $G$ a $E$ není deterministický ale
pravděpodobnostní, $D$ je naopak deterministický (to nás neomezuje, tyto
případy se na sebe dají převést)
Požadujeme korektnost, tedy $\forall k \in \m K, m \in \m M, D_k(E_k(m))=m$.
Typicky $|\m M| \neq |\m C|$.
Co od algoritmu chceme v rámci bezpečnosti
- požadovat, aby ciphertext nic neříkal o klíči nefunguje.
\definice Private-key encryption scheme splňuje {\it perfect
indistinguishability}, pokud $\forall m_1, m_2 \in \m M, c \in \m C:
Pr_{k\leftarrow \m K}[E_k(m_1)=c]=Pr_{k\leftarrow \m K}[E_k(m_2)=c]$,
pravděpodobnost počítáme přes pravděpodobnost $k\leftarrow G$ a náhodné mince v
$E$. \sskip
Pokud jsme schopní splnit tohle, znamená to, že adversary z ciphertextu opravdu
nezjistí vůbec nic, dokonce i kdyby znal část zprávy (klidně celou až na jeden
bit).
\priklad
Shift cipher (Caesarova šifra)
$\m K=\{0,1,\dots,25\}$,$\m M=\m C=\m K ^\ell$
Substitution cipher
$K=\Phi(25)$ (=permutace na $\{0,1,\dots,25\}$), $\m M=\m C=\m K^\ell$
One-time pad(Vernamova šifra)
$\m K=\m C=\m M=\{0,1\}^\ell$
$E_k(m)=m \oplus k$, $D_k(m) = m \oplus k$\sskip
\tvrzeni Caesarova šifra pro zprávy délky $\ell \geq 2$ nesplňuje perfect ind.\sskip
\dukaz $m_1=aa$, $m_2=ab$, $c=xy$,
$Pr_{k\leftarrow \m K}[E_k(m_2)=c]=\frac 1{26}$
$Pr_{k\leftarrow \m K}[E_k(m_1)=c]=0$ \qed\sskip
\tvrzeni OTP splňuje perfect ind.\sskip
\dukaz
$Pr_{k\leftarrow \m K}[E_k(m)=c] = Pr_{k\leftarrow \m K}[n=m \oplus c |
k\leftarrow \{0,1\}^\ell]=2^{-\ell}$ \qed \sskip
\definice $M$ je pravděpodobnostní rozdělení na $\m M$. Pak PK encryption
scheme splňuje {\it Shannon secrecy} vzhledem k $M$, pokud $\forall m \in \m M,
c \in \m C$ taková, že $Pr[E_k(m)=c]>0$ platí $Pr[M=m | E_k(m)=c]=Pr[M=m]$
Pravděpodobnost přes $M$, $k \rightarrow \m K$ a $E$. \sskip
\tvrzeni PK-encryption scheme splňuje perf. ind. právě když splňuje Shannon
secrecy (vzhledem ke každému $M$, $Pr[M=m]>0 \forall m \in M$) Pak říkáme, že
splňuje perfect secrecy.\sskip
\dukaz "$\Rightarrow$"
Bayesova věta: Pokud platí $Pr[B]>0$, pak $\forall A:$ $$Pr[A|B]={Pr[B|A]Pr[A]
\over Pr[B]}.$$
Z Bayesovy věty platí $$Pr[M=m|E_k(m)=c] =
\frac{Pr[E_k(m)=c|M=m]Pr[M=m]}{Pr[E_k(m)=c]}.$$ Z perf. ind. ale platí, že
$Pr[E_k(m)=c|M=m]=Pr[E_k(m)=c]$, tyto členy můžeme proti sobě tedy pokrátit
a dostaneme $Pr[M=m|E_k(m)=c] = Pr[M=m]$, čímž je tato implikace dokázána.
\bigskip \noindent Zbytek důkazu na příští přednášce.
\end{document}