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53. 最大子序和

地址: https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/

题目描述

给定一个整数数组 nums ，找到一个具有最大和的连续子数组（子数组最少包含一个元素），返回其最大和。

示例 1：

输入：nums = [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4]
输出：6
解释：连续子数组 [4,-1,2,1] 的和最大，为 6 。

示例 2：

输入：nums = [1]
输出：1

示例 3：

输入：nums = [0]
输出：0

示例 4：

输入：nums = [-1]
输出：-1

示例 5：

输入：nums = [-100000]
输出：-100000

解题思路

关键 1：理解题意

题目要我们找出和最大的连续子数组的值是多少，「连续」是关键字，连续很重要，不是子序列。 题目只要求返回结果，不要求得到最大的连续子数组是哪一个。这样的问题通常可以使用「动态规划」解决。

关键 2：如何定义子问题（如何定义状态）

设计状态思路：把不确定的因素确定下来，进而把子问题定义清楚，把子问题定义得简单。动态规划的思想通过解决了一个一个简单的问题，进而把简单的问题的解组成了复杂的问题的解。

我们 不知道和最大的连续子数组一定会选哪一个数，那么我们可以求出 所有 经过输入数组的某一个数的连续子数组的最大和。

例如，示例 1 输入数组是 [-2,1,-3,4,-1,2,1,-5,4] ，我们可以求出以下子问题：

• 子问题 1：经过 -2−2 的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 2：经过 11 的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 3：经过 -3−3 的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 4：经过 44 的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 5：经过 -1−1 的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 6：经过 22 的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 7：经过 11 的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 8：经过 -5−5 的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 9：经过 44 的连续子数组的最大和是多少。

一共 9 个子问题，这些子问题之间的联系并没有那么好看出来，这是因为 子问题的描述还有不确定的地方（这件事情叫做「有后效性」，我们在本文的最后会讲解什么是「无后效性」）。

例如「子问题 3」：经过 -3−3 的连续子数组的最大和是多少。 「经过 -3−3 的连续子数组」我们任意举出几个：

• [-2,1,-3,4] ，-3−3 是这个连续子数组的第 3 个元素；
• [1,-3,4,-1] ，-3−3 是这个连续子数组的第 2 个元素； 我们不确定的是：-3−3 是连续子数组的第几个元素。那么我们就把 -3−3 定义成连续子数组的最后一个元素。在新的定义下，我们列出子问题如下：
• 子问题 1：以 -2−2 结尾的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 2：以 11 结尾的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 3：以 -3−3 结尾的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 4：以 44 结尾的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 5：以 -1−1 结尾的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 6：以 22 结尾的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 7：以 11 结尾的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 8：以 -5−5 结尾的连续子数组的最大和是多少；
• 子问题 9：以 44 结尾的连续子数组的最大和是多少。

我们加上了「结尾的」，这些子问题之间就有了联系。我们单独看子问题 1 和子问题 2：

• 子问题 1：以 -2−2 结尾的连续子数组的最大和是多少；

以 -2结尾的连续子数组是 [-2]，因此最大和就是 -2。

以 1 结尾的连续子数组有 [-2,1] 和 [1] ，其中 [-2,1] 就是在「子问题 1」的后面加上 1 得到。−2+1=−1<1 ，因此「子问题 2」 的答案是 1。 大家发现了吗，如果编号为 i 的子问题的结果是负数或者 00 ，那么编号为 i + 1 的子问题就可以把编号为 i 的子问题的结果舍弃掉（这里 i 为整数，最小值为 1 ，最大值为 8），这是因为：

• 一个数 a 加上负数的结果比 a 更小；
• 一个数 a 加上 00 的结果不会比 a 更大；
• 而子问题的定义必须以一个数结尾，因此如果子问题 i 的结果是负数或者 0，那么子问题 i + 1 的答案就是以 nums[i] 结尾的那个数。

接下来我们按照编写动态规划题解的步骤，把「状态定义」「状态转移方程」「初始化」「输出」「是否可以空间优化」全都写出来。

定义状态（定义子问题）

dp[i]：表示以 nums[i] 结尾 的 连续 子数组的最大和。 说明：「结尾」和「连续」是关键字。

状态转移方程（描述子问题之间的联系）

根据状态的定义，由于 nums[i] 一定会被选取，并且以 nums[i] 结尾的连续子数组与以 nums[i - 1] 结尾的连续子数组只相差一个元素 nums[i] 。

假设数组 nums 的值全都严格大于 00，那么一定有 dp[i] = dp[i - 1] + nums[i]。 可是 dp[i - 1] 有可能是负数，于是分类讨论：

• 如果 dp[i - 1] > 0，那么可以把 nums[i] 直接接在 dp[i - 1] 表示的那个数组的后面，得到和更大的连续子数组；
• 如果 dp[i - 1] <= 0，那么 nums[i] 加上前面的数 dp[i - 1] 以后值不会变大。于是 dp[i] 「另起炉灶」，此时单独的一个 nums[i] 的值，就是 dp[i]。 状态转移方程还可以这样写，反正求的是最大值，也不用分类讨论了，就这两种情况，取最大即可，因此还可以写出状态转移方程如下： dp[i]=max{nums[i],dp[i−1]+nums[i]}

初始值

dp[0] 根据定义，只有 1 个数，一定以 nums[0] 结尾，因此 dp[0] = nums[0]。

注意

• 这里状态的定义不是题目中的问题的定义，不能直接将最后一个状态返回回去；
• 这里状态的定义不是题目中的问题的定义，不能直接将最后一个状态返回回去；
• 这里状态的定义不是题目中的问题的定义，不能直接将最后一个状态返回回去。

这个问题的输出是把所有的 dp[0]、dp[1]、……、dp[n - 1] 都看一遍，取最大值。

作者：liweiwei1419 链接：https://leetcode-cn.com/problems/maximum-subarray/solution/dong-tai-gui-hua-fen-zhi-fa-python-dai-ma-java-dai/ 来源：力扣（LeetCode） 著作权归作者所有。商业转载请联系作者获得授权，非商业转载请注明出处。

参考代码

class Solution:
    def maxSubArray(self, nums: List[int]) -> int:
        lens = len(nums)
        if lens == 0:
            return 0
        
        dp = [0 for i in range(lens)]
        dp[0] = nums[0]
        for i in range(1,lens):
            dp[i] = max(dp[i-1]+nums[i], nums[i])
        return max(dp)